El Espacio De Casi Componentes Conexas De Un Espacio Espectral
Julio Castiñeira Merino
jcastine@boj.pntic.mec.es
Publicaciones de la sección de Matemáticas
número 10, Diciembre de 1986
Universidad de Valladolid
(No se publican las demostraciones)

1. Introducción

El objetivo de esta nota es generalizar a espacios espectrales dos resultados conocidos para espacios con condiciones mas restrictivas. El primero de ellos es el teorema de Shura-Bura (Ver Pontriaguin [4] pág 101) que establece que en un espacio compacto (Casicompacto + T₂ ) cada componente conexa es la intersección de los abiertos cerrados que la contienen y el segundo, el resultado sobradamente conocido (ver por ej. [1]) que establece que el espectro del anillo de las funciones localmente constantes en un espacio de Boole X con valores en un cuerpo K es homeomorfo al espacio X.

2. Las casicomponentes conexas de un espacio espectral

Recordemos que un espacio Topológico es espectral si, y sólo si, es T₀, casicompacto, los abiertos casicompactos forman una base de abiertos y cada cerrado irreducible tiene un punto genérico. Un resultado importante en espacios espectrales es la propiedad siguiente:

P) Toda familia de abiertos casicompactos con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía. [2] y [3]

Definición.- Sea X un espacio topológico y x un punto de X. Llamaremos casicomponente de x en X a la intersección de todos los entornos abiertos cerrados de x. Llamaremos casicomponentes de un espacio topológico X a las casicomponentes de sus puntos.

La casicomponente de un punto x contiene , obviamente, a la componente conexa de x. El conjunto de las casicomponentes de un espacio topológico X es una partición de X, en general menos fina que la partición formada por las componentes conexas de X [4].

Lema 1.- Sea X un espacio casicompacto. Sea L la casicomponente de un punto x pertenenciente a X. Para todo abierto G que contenga a L existe un abierto cerrado P
tal que .

Lema 2.- Sea X un espacio espectral. Dado un punto x perteneciente a X y un cerrado C tales que {x} y C tienen intersección vacía, existe un abierto casicompacto que contiene a C y al cual no pertenece x.

Lema 3.- Sean A y B dos cerrados disjuntos no vacios de un espacio espectral X. Se cumple una de las dos propiedades siguientes:

a) Existen abiertos casicompactos G y H que separan A y B.
(es decir )
b) Existe un punto z perteneciente a X tal que y

Nota: es el cierre del conjunto {z}

Lema 4.- Sea X un espacio topológico. Sean G y H abiertos disjuntos y P un abierto cerrado contenido en . Los conjuntos y son abiertos cerrados.

Proposición1.- Sea X un espacio espectral. Si L es una casicomponente de X entonces L es conexa.

Corolario.- En un espacio espectral, las componentes conexas coinciden con las casicomponentes.

3.- El espacio de las funciones localmente constantes sobre X

Sea X un espacio casicompacto y k un cuerpo. Una función de X en K es localmente constante si, y sólo si, es una función continua de X en K con la topología discreta. Las funciones localmente constantes sobre X forman una k-álgebra que designaremos por LCK(X). Observemos que las funciones caracteristicas de un abierto cerrado son idempotentes en LCK(X). Recíprocamente los idempotentes de LCK(X) son las funciones de un abierto cerrado de X. Los idempotentes de LCK(X) forman una familia de generadores y por tanto LCK(X) es una LCK-álgeba según la terminología introducida por Dominguez [1].

Designaremos por m_x el ideal maximal de las funciones localmente constantes que se anulan en el punto x perteneciente a X. Probaremos que todo ideal primo de LCK(X) es un ideal maximal de la forma m_x . Este resultado fue obtenido por Domínguez [1]. La demostración dada aquí es diferente.

Lema 5.- Sea X casicompacto y a un ideal de LCK(X) . Se cumplen las proposiciones siguientes:

a) Sea F el conjunto de los ceros de la función f. Si f pertenece a a y f es distinta de cero entonces la función caracteristica de X-F pertenece a a.

b) Sean F y G el conjunto de los ceros de f y g respectivamente. Si f y g pertenecen a a entonces y existe una función h perteneciente a a cuyos ceros son los ceros comunes de f y g.

c) Sean f₁, f₂, ....., f_n funciones que pretenecen a a, existe una función h perteneciente a a cuyos ceros son los ceros comunes de f₁, f₂, ....., f_n .

Proposición 2.- Sea X un espacio casicompacto

a) En LCK(X) todo ideal primo es maximal.

b) Si m es un ideal maximal de LCK(X) existe un x perteneciente a X tal que m = m_x.


Designemos por CC(X) y Comp(X) a los espacios topológicos de las casicomponentes y de las componentes conexas con la topología cociente.

Proposición 3.- Sea X un espacio casicompacto. Sea definida por
. Se cumple:
a) F es sobre y continua.

b) F(x) = F(y) si, y sólo si, x e y pertenecen a la misma casicomponente.

c) F es una aplicación cerrada. De forma más precisa si C es un cerrado en X podemos afirmar que F(C) = V(I(C)), donde I(C) es el ideal de las funciones que se anulan en C y V es el operador clausura en Spec(LCK(X))

d) F es una identificación.

e) La aplicación inducida por F, es un homeomorfismo.

f) Si X es espectral, Comp(X) es homeomorfo a Spec(LCK(X))


Referencias

[1] Dominguez, J.M. Algebras de funciones continuas y sus espacios de ideales maximales. (Tesis: universidad de Valladolid, 1983)
[2] Hochter, M. Prime ideal structure in conmutative rings. Trans. Amer. Math. Soc. (1969) pp. 43-60
[3] Lafon, J.P. Algebre Conmutative. Hermann, 1977.

[4] Pontriaguin, L.S. Grupos continuos. Mir, 1978.

[5] Willard, S. General TopoloGy. Addison-Wesley 1970.

Julio Castiñeira Merino